WiSe 24/25: Topology and Topoi
Georg Lehner
Kommentar
Es gibt verschiedene Dualitäten in der Mathematik, die formale Ähnlichkeiten aufweisen. Eine davon wird durch die Galois-Theorie gegeben: Für einen gegebenen Körper sind das Poset der Galois-Erweiterungen und das Poset der Untergruppen seiner absoluten Galois-Gruppe zueinander dual. Ein weiteres Beispiel ist die Überlagerungstheorie: Für einen gegebenen topologischen Raum gibt es eine Dualität zwischen Überlagerungen und Untergruppen seiner Fundamentalgruppe. Wir werden auch Stone-Dualitäten sowie verschiedene Erscheinungsformen dieser Dualitäten diskutieren.
Diese Dualitäten sind Spezialfälle eines sehr allgemeinen Phänomens, das durch die Betrachtung von Grothendieck-Topoi ausgedrückt werden kann. Diese Topoi sind Kategorien von Garben auf einer Site und können auch als verallgemeinerte topologische Räume betrachtet werden. Jeder Topos hat eine pro-endliche Homotopiegruppe, und es gibt eine abstrakte Galois-Theorie, die sowohl die klassische Galois-Theorie als auch die Überlagerungstheorie verallgemeinert.
Gegen Ende der Vortragsreihe werden wir die Formtheorie betrachten. Die Formtheorie ermöglicht es, Homotopietheorie auch mit "wilden" topologischen Räumen zu betreiben. Jedem höheren Topos kann man seine Form zuordnen. Wir werden versuchen, das Resultat zu beweisen, dass für einen lokal kontrahierbaren Topos sein Sub-Topos der lokal kontrahierbaren Objekte äquivalent zur Kategorie der lokalen Systeme über seiner Form ist.
SchließenLiteraturhinweise
Johnstone - Stone Spaces
MacLane, Moerdijk - Sheaves in Geometry and Logic
Hoyois - Higher Galois Theory
16 Termine
Regelmäßige Termine der Lehrveranstaltung